已知函数f（x）=mx-m?1x-lnx，m∈R，函数g（x）=1cosθ?x+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈[0，π2）．

（1）由题意g′(x)＝?

1

cosθ?x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即

cosθ?x?x

cosθ?x2

≥0，
∵θ∈[0，

π

2

)，故cosθ?x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
只须cosθ?1-1≥0，即cosθ≥1，得θ=0，
∴θ的取值范围是{0}．
（2）由（1）得h（x）=mx-

m

x

-2lnx，
∴h′(x)＝

mx2?2x+m

x2

，
∵h（x）在[1，+∞）上为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0，或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立，
mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

＝

2

x+ 1 x

?{

2

x+ 1 x

}_max=1，解得m≥1，
∴mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，
即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，
而

2x

1+x2

∈(0，1]，∴m≤0，
综上所述，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）构造函数F（x）=mx-

m

x

?2lnx?

2e

x

．
当m≤0时，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
∴在[1，e]上不存在一个x₀，
使得h（x₀）＞

2e

x0

成立．…9分
当m＞0时，F'（x）=m+

m

x2

?

2

x

+

2e

x2

＝

mx2?2x+m+2e

x2

．
∵x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）_max=me-

4

e

-4，只要me-

4

e

-4＞0，
解得m＞

4e

e2?1

．
故m的取值范围是(

4e

e2?1

，+∞)．…14分．