已知函数 g(x)= 1 x +lnx ， f(x)=mx- m-1 x -lnx(m∈R) ．（Ⅰ）若y=f（x）-g（x）在

2025-05-15 01:40:52

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回答1：

（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=mx-

-2lnx，y′=

m x 2 -2x+m

x 2

，
由于y=f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，则mx² -2x+m≥0或者mx² -2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立，
即m ≥

x 2 +1

或者m ≤

x 2 +1

在[1，+∞）上恒成立，
而0＜

x 2 +1

≤1，故m≥1或者m≤0，
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx-

-2lnx-

，
①当m≤0时，由x∈[1，e]得，mx-

≤0，-2lnx-

＜0，
所以在[1，e]上不存在一个x₀ ，使得f（x₀ ）-g（x₀ ）＞h（x₀ ）；
②当m＞0时，F′（x）=m+

x 2

m x 2 -2x+m+2e

x 2

，
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx² +m＞0，所以F′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，故F（x）在x∈[1，e]上单调递增，
F（x）_max =me-

-4，只要me-

-4＞0，解得m＞

e 2 -1

，
故m的取值范围是（

e 2 -1

，+∞）．