在等比数列{a n }（n∈N * ）中，a 1 ＞1，公比q＞0．设b n =log 2 a n ，且b 1 +b 3 +b 5 =6，b 1 b 3 b

2025-05-14 00:37:42

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回答1：

（1）证明：∵b_n =log₂ a_n ，
∴b_n+1 -b_n =log₂

a n+1

a n

=log₂ q为常数．
∴数列{b_n }为等差数列且公差d=log₂ q．
（2）∵b₁ +b₃ +b₅ =6，∴b₃ =2．
∵a₁ ＞1，∴b₁ =log₂ a₁ ＞0．
∵b₁ b₃ b₅ =0，∴b₅ =0．
∴

b 1 +2d=2

b 1 +4d=0.

解得

b 1 =4

d=-1.

∴S_n =4n+

n(n-1)

×（-1）=

9n- n 2

．
∵

lo g 2 q=-1

lo g 2 a 1 =4

∴

a 1 =16.

∴a_n =2^5-n （n∈N^* ）．
（3）显然a_n =2^5-n ＞0，当n≥9时，S_n =

n(9-n)

≤0．
∴n≥9时，a_n ＞S_n ．
∵a₁ =16，a₂ =8，a₃ =4，a₄ =2，a₅ =1，a₆ =

，a₇ =

，a₈ =

，S₁ =4，S₂ =7，S₃ =9，S₄ =10，S₅ =10，S₆ =9，S₇ =7，S₈ =4，
∴当n=3，4，5，6，7，8时，a_n ＜S_n ；
当n=1，2或n≥9时，a_n ＞S_n ．