（1）依题意，f′(x)＝（x＞0），（1分）
所以f′(1)＝=，
由切线方程得f′（1）=1，即=1，解得a=0，
此时f(x)＝（x＞0），f′(x)＝，（3分）
令f′（x）＞0得，1-lnx＞0，解得0＜x＜e；
令f′（x）＜0得，1-lnx＜0，解得x＞e，
所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．（5分）
（2）解法一：
由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f（2014）＞f（2015），
即＞，则2015ln2014＞2014ln2015，
所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014（9分）
解法二：
=()2014×，
因为()2014=(1+)2014
=1+1+(
)2+
()3+…+
()2014
＜2+++…+
＜2+++…+
＜2+（1-）+（?）+…+（-）
=3-＜3，
所以＜＜1，所以20142015＞20152014．（9分）
（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则k＞+，
记g（x）=+，只需k＞g（x）max．
又g′(x)＝?=，（10分）
记h（x）=1-2x-2lnx（x＞0），则h′(x)＝?2?＜0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（1）=-1＜0，h()＝1??2ln=1-+ln2＞1-+ln2=ln＞0，
所以存在唯一x0∈(，1)，使得h（x0）=0，即1-2x0-2lnx0=0，（11分）
当x＞0时，h（x）、g′（x）、g（x）的变化情况如下：
| x |
（0，x0） |
x0
|
（x0，+∞） |
| h（x） |
+ |
0 |
- |
| g′（x） |
+ |
0 |
- |
| g（x） |
↗ |
极大值 |
↘ |
（12分）
所以g（x）
max=g（x
0）=
