已知:如图，在三角形ABC中，点D是角BAC的角平分线上的一点，BD垂直于AD于点D，过点D做DE

证明：延长BD交AC延长线于点F,
因为 AD平分角BAC, BD垂直于AD于点D,
所以 角BAD=角FAD, 角ADB=角ADF=90度，
又因为 AD=AD,
所以 三角形ABD全等于三角形AFD (A, S, A),
所以 BD=FD,
因为 BD=FD,DE//AC,
所以 AE=EB, E是AB中点
因为 在三角形ABD中，角C=90度，E是AB中点，
所以 AE=BE=DE(直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半），
所以 点E是过A, B, D 三点的圆的圆心。

证明：
∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵DE∥AC
∴∠EDA=∠CAD
∴∠BAD=∠EDA
∴ED=EA
∵∠EDB+∠EDA=90°，∠ABD+∠BAD=90°
且∠EDA=∠BAD
∴∠EDA=∠ABD
∴EB=ED
∴ED=EA=EB
∴E为过A、B、D三点圆的圆心