191问答库 > 圆O内接△ABC,D在BC上，过D点作AC的平行线交AB于E，交过A的直线于F点，且BE·AE=DE·EF

圆O内接△ABC,D在BC上，过D点作AC的平行线交AB于E，交过A的直线于F点，且BE·AE=DE·EF

,求证：AF是圆O的切线，

2025-05-10 06:36:15

推荐回答（2个）

回答1：

连接A和圆心O，并延长交圆于G，连接BG
∵∠AEF=∠BED，
BE×AE=DE×EF即BE/EF=DE/AE
∴△AEF∽△DEB
∴∠FAE=∠BDE
∵DF∥AC
∴∠C=∠BDE=∠FAE
∵AG是直径
∴∠ABG=90°
∴∠BGA+∠BAG=90°
∵∠BGA=∠C=∠FAE
∴∠FAE+∠BAG=∠FAG=90°
∴OA⊥AF
∴AF是圆O的切线

回答2：

要证FA是圆的切线，只证∠FAB=∠C即可。
由BE·AE=DE·EF，得BE/EF=DE/AE，又有∠BED=∠FEA，所以△BED∽△FEA，所以∠BDE=∠FAB，由于DF//AC，所以∠BDE=∠C，所以有∠FAB=∠C，所以AF是圆的切线。