（1）∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴log4(4?x+1)?kx＝log4(4x+1)+kx，
∴log4
＝?2kx，
4x+1
4?x+1
化为x=-2kx，对一切x∈R恒成立，解得k＝?
．1 2
由题意可知：只要证明函数f（x）+
x=log4(4x+1)+x在定义域R上单调即可．3 2
∵函数y=4x与y=x在R单调递增，∴函数y＝log4(4x+1)+x在R上单调递增．
因此对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-
x+b最多只有一个交点；3 2
（2）若方程f（x）=log4（a?2x-
）有且只有一个解，4a 3
即log4(4x+1)?
x＝log4(a?2x?1 2
)，化为2x+4a 3
＝a?2x?1 2x
，即此方程有且只有一个解．4a 3
令t=2x＞0，上述问题化为方程(a?1)t2?
t?1＝0有且只有一个正根．4a 3
①若a=1，解得t＝?
，不合题意，应舍去；3 4
②a≠1，由△=0，解得a=
或-3．3 4
当a＝
时，t=-2不合题意，应舍去；当a=-3时，t＝3 4
，满足题意．1 2
③若a≠1，△＞0，且方程有一个正根和一个负根时，
＜0，解得a＞1．?1 a?1
综上a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．
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